선형시스템(Linear System)

선형 시스템은 중첩의 원리를 따르는 시스템을 말합니다.

 

중첩의 원리가 무엇이냐. 중첩의 원리는 가산성(Additivity)과 비례성(Homogeneity)을 둘 다 만족시키는 것을 말합니다.

 

그렇다면 가산성과 비례성은 무엇이냐. 

 

시스템의 입력과 출력

여기서 H()는 시스템의 함수이고, x(t)는 input, y(t)는 output이다.

 

*가산성(Additivity)

 만약, 위와 같은 시스템에서 입력을 x1(t)+x2(t)로 설정을 했을때 출력을 살펴보자.

출력 y(t)는 H(x1(t)+x2(t))가 될 것이다.

이 때, 가산성을 만족한다는 말은, 먼저 수식부터 살펴보자

y(t)=H(x1(t)+x2(t))=H(x1(t))+H(x2(t))

필자도 이게 어떻다는 건지 처음엔 와 닿지 않았다.

간단히 설명하자면,

2개의 입력신호(x1(t), x2(t))를 시스템에 넣기 전에 합하고 시스템을 거쳐 나온 출력 값과, 합하지 않고 각각을 시스템에 집어넣었을 때 나온 2개의 출력 값의 합이 같다는 것이다.

솔직히 이렇게 설명해도 모를 수 있다. 저도 그랬구요.

더 간단하게 설명 하자면,

예를 들어 시스템 함수가 H(x) = 3x라 가정하자.

입력 x1 = 3, x2 = 4

다시 쉽게말해, 입력에 3과 4를 각각 집어넣어보자.

결과 값은 누구나 쉽게 계산할 수 있을 것이다.

y(x1) = 3*3 =9이고, y(x2) = 3*4 = 12이다. 

이번엔 처음부터 입력 3과 4를 더해서 시스템에 집어넣어보자.

y(x) = 3(3+4) = 21 이다.

즉, H(x)=3x는 y(t)=H(x1(t))+H(x2(t))=H(x1(t))+H(x2(t))를 만족하기 때문에 가산성이 성립한다.

이번엔 H(x) = x^2(제곱)을 살펴보자.

아까 처럼 입력에 3과 4를 각각 넣어보자.

출력 값은 3의 제곱인 9와 4의 제곱인 16이 나온다.

이번엔 입력에 3+4를 넣어보자

출력 값은 7의 제곱인 49가 나온다.

이처럼 2차식은 가산성을 만족시키지 못하는 예의 하나이다.

 

다음은 비례성(Homogeneity)이다.

비례성은 입력이 a배 증가하면 출력도 a배 증가해야 한다.

입력을 3으로 줬을 때, 출력은 위에서 보았듯이 9이다.

이때 입력을 2배한 6을 줬을 때, 출력도 2배 증가한 18(9에서 2배 증가한)이 된다.

수식으로 살펴보면,

H(a*x1) = a*H(x1)이다.

똑같이 H(x) = x^2를 살펴보면

입력을 3으로 줬을 때, 출력은 9이다.

입력을 2배한 6을 줬을 때, 출력은 36이다.

비례성을 만족한다면 입력을 2배한 6을 줬을 때 9의 2배인 18이 나와야하므로

이 2차식 또한 비례성을 만족시키지 못하는 예의 하나이다.